makalah pembentukan konsep matematika

Pembentukan Konsep-konsep Matematika

    Dua istilah yang sudah terulang sepanjang bab yang pengantar adalah konsep dan bagan dalam bab ini yang kita akan menguji apa yang kita dengan konsep berarti dan bagaimana kita membentuk, menggunakan, dan mengkomunikasikan ini. Kemudian, dalam bab 3, kita akan mempertimbangkan bagaimana konsep cocok bersama-sama untuk membentuk struktur konseptual, bagan yang disebut dan diuji sebagian dari yang hasil mengikuti dari organisasi dari pengetahuan kita ke dalam struktur ini.

Meringkas dan menggolongkan

Meskipun demikian istilah konsep secara luas digunakan. Itu tidaklah mudah untuk menggambarkan. Maupun, untuk berbagai alasan yang akan nampak kemudian, adalah suatu definisi langsung adalah cara yang terbaik untuk menyampaikan maksudnya. Maka saya akan mendekatinya dari beberapa arah, dan dengan berbagai contoh. Karena konsep matematika adalah di antara kebanyakan abstrak, kita akan menjangkau yang terakhir ini.

Pertama, dua contoh sebelum lisan. Suatu bayi yang tua duabelas bulan, setelah selesai menghisap botol nya, dirayapi ke seberang lantai ruang yang hidup ke tempat mana dua botol anggur kosong  sedang berdiri, dan berdiri botol susu bayi yang kosong miliknya dengan rapi di sampingnya. Suatu dua orang- tahun- tua, melihat suatu bayi di atas lantai, bereaksi seperti pada umumnya memerlukan untuk anjing, menepuk pada atas kepala dan stroking punggungnya. (Ia telah melihat banyak dari anjing, tetapi belum pernah punya sebelumnya melihat bayi lain yang merayap).

Di dalam kedua-duanya kasus ini perilaku anak-anak yang terkait menyiratkan: satu, beberapa macam penggolongan dari pengalaman sebelumnya mereka: dua orang, pengepasan pengalaman hadir ke dalam satu kelas ini.

Kita semua lakukan ini sejak semula: dengan begitu bahwa kita memusatkan pada pada pengalaman masa lalu pada situasi saat ini. Aktivitas menjadi sangat otomatis dan berlanjut bahwa itu memerlukan beberapa yang sedikit hasil tak diduga daripadanya, seperti di atas, untuk mennyebutnya perhatian kita.

Pada suatu tingkat yang lebih rendah, kita menggolongkan setiap kali kita mengenali suatu obyek sebagai satu yang kita sudah melihat sebelumnya. Pada atas tidak ada dua kesempatan adalah pengertian yang data berikutnya nampaknya akan persis yang sama, karena kita maka object pada jarak berbeda dan penjuru/sudut, dan juga dalam bermacam-macam cahaya dari ini bermacam-macam masukan yang kita memisahkan karar/invarian properti tertentu, dan kekayaan ini tetap pada tuntutannya memori lebih panjang dibanding memori tentang segala  presentasi obyek tertentu. Di dalam diagram, c1, c2.. . menghadirkan yang berurutan pengalaman masa lalu obyek yang sama; mengatakan, kursi tertentu.

Dari ini kita memisahkan dimiliki oleh banyak orang tertentu, yang diwakili diagram dengan C sekali ketika abstrak ini dibentuk, manapun pengalaman Lebih lanjut C menimbulkan C dan kursi dikenali: itu adalah, pengalaman yang baru di dalam digolongkan dengan C1, C2, dan lain lain Cn dan C kini berpengalaman bersama-sama dan dari kombinasi mereka, kita mengalami kedua-duanya persamaan ( C) tentang Cn kepada pengalaman yang sebelumnya kita] melihat kursi ini, dan juga jarak yang tertentu, penjuru/sudut, dan lain lain pada kesempatan ini ( Cn). Sadar tanah mencuat ke laut perbedaan antara Cn Dan C1, C2, C3 adalah ( menurut pada  diagram ini ) suatu lebih proses tak langsung; dan ini sesuai dengan data bersifat percobaan- anak-anak temukannya lebih mudah untuk memberi persamaan antara, kata, suatu jeruk dan suatu buah apel, dibanding perbedaan.

Kita maju dengan cepat kepada abstrak lebih lanjut. Dari kursi tertentu, C, C', C'', kita memisahkan kekayaan karar/invarian lebih lanjut, dengan mana kita mengenali Ch ( suatu obyek baru melihat untuk pertama kali, kata suatu jendela toko) sebagai anggota dari kelas ini. Itu adalah yang kedua- abstrak order ( dari satuan abstrak C, C',….) kepada yang (mana)  kita memberi nama itu "mengepalai". Yang Kekayaan Karar/Invarian menandainya telah menjadi semakin fungsional dan lebih sedikit perceptual- itu adalah, lebih sedikit berkait dengan sifat fisis suatu kursi. Satu aku lihat baru-baru ini dari keranjang- pekerjaan, berbentuk-telur, dan menggantung dari tali tunggal. Itu mengandung sedikit atau tidak (ada) kemiripan phisik bagi manapun yang kursi yang aku telah pernah melihat- tetapi aku mengenalinya dengan segera sebagai kursi, dan yang paling diinginkan juga!

Dari kursi abstrak, bersama-sama dengan lain abstrak seperti meja, permadani, kantor, suatu mebel abstrak lebih lanjut  dapat dibuat; dan seterusnya. Penggolongan ini tidak sama sekali ditetapkan; diperbaiki. Terutama sekali oleh yang muda, kursi adalah juga digolongkan ketika berbagai hal untuk berdiri pada, piranti gimnastic, dan kerangka suatu rumah permainan. Tabel kadang-kadang digunakan sebagai kursi. Fleksibilitas penggolongan ini, menurut kebutuhan pada waktu, dengan jelas suatu bantuan ke kemampuan beradaptasi.

Penamaan suatu obyek menggolongkan itu. Ini bisa merupakan suatu keuntungan, atau suatu kerugian. Semacam sangat penting penggolongan adalah oleh fungsi; dan sekali ketika suatu obyek dengan begitu telah digolongkan, kita mengetahui bagaimana bertindak dalam hubungan dengan itu. 'apapun juga yang ini?' 'Adalah suatu perkakas untuk menarik sepatu boot wellington'. Tetapi sekali ketika itu digolongkan cara tertentu, kita adalah lebih sedikit terbuka bagi lain penggolongan. Kebanyakan dari kita menggolongkan kereta mobil sebagai sarana angkut, waktu- penghemat, dan barangkali tanda kebesaran, dan menggunakannya di dalam hal yang kecil persetujuan ini. Lebih sedikit juga melihatnya sebagai object berpotensi mematikan, dan perilaku kita di sana bagian depan mengambil lebih sedikit tanggung jawab dibanding itu perlu penggolongan ini. Mungkin saja berguna bagi menghubungkan sebagian dari istilah digunakan sejauh ini. (Mereka tidak bisa digambarkan, untuk/karena pertimbangan yang diberikan sebelumnya di dalam bab). Meringkas adalah suatu aktivitas yang mana kita menjadi sadar akan persamaan ( di dalam keseharian,yang bukan mathematical, sanse) antar pengalaman kita. Makna Penggolongan mengumpulkan bersama-sama pengalaman kita atas dasar persamaan ini. Suatu abstrak adalah beberapa macam mental kekal berubah, hasil meringkas, yang memungkinkan kita untuk mengenali pengalaman baru seperti menikmati persamaan dari suatu kelas format yang siap. Yang dengan singkat, adalah sesuatu  yang diajarkan yang memungkinkan kita untuk menggolongkan; itu adalah melukiskan properti suatu kelas. Untuk membedakan antara meringkas sebagai suatu aktivitas, dan suatu abstrak sebagai hasil akhirnya, kita selanjutnya menyebut yang belakangan adalah suatu konsep. Tanda kutip berarti bahwa kita  sedang mengacu pada suatu perkataan sebagai dirinya sendiri, dan bukan kepada konsep itu mewakili. Huruf miring adalah hanya untuk penekanan.

Suatu konsep oleh karena itu memerlukan untuk formasi nya sejumlah pengalaman yang mempunyai sesuatu  yang bersama-sama. Sekali ketika konsep dibentuk, kita boleh (secara retrospektif dan secara calon) memperbicangkan tentang contoh konsep itu. Konsep sehari-hari datang dari pengalaman sehari-hari, dan yang contoh mendorong kearah formasi mereka terjadi secara acak, ruang pada waktunya. Semakin sering object yang ditemui adalah, secara umum, conceptualized dengan cepat: tetapi banyak lain faktor di tempat kerja, buatan statemen ini yang (mana)  suatu penyederhanaan berlebih. Salah satu dari ini adalah membandingkan. Di (dalam) diagram pada sisi kanan, [posisi/letak] yang tunggal ke luar perceptually dari yang lima yang dengan berbagai cara membentuk O. Yang Object tinus menonjol dari lingkungan mereka lebih mungkin diingat, dan persamaan mereka lebih mungkin untuk diringkas ke seberang interval ruang dan waktu.

Diagram juga menggambarkan fungsi bukan- contoh di (dalam) menentukan suatu kelas. X, dengan perbedaan nya membentuk semua bentuk lain , membuat persamaan itu diantaranya yang lebih nyata. Karakteristik yang penting suatu kursi diperjelas dengan  menunjuk kata suatu bangku, suatu bangku duduk, suatu tempat tidur/alas, dan suatu tempat duduk kebun, dan berkata. Ini tidaklah mengepalai. Ini adalah secara khusus bermanfaat memperbaiki perbatasan- garis suatu kelas yang kita menggunakan object yang mungkin jadilah contoh, tetapi bukan.

Penamaan

Kami baru saja menggunakan penamaan lagi. Bahasa adalah, pada manusia, sehingga terkait erat dengan konsep-konsep dan formasi yang kita tidak bisa lama menyimpan penamaan dari diskusi kita. Memang, banyak orang merasa sulit untuk memisahkan konsep dari nama, seperti yang ditunjukkan oleh ilustrasi menarik berikut ini disediakan oleh Vygotsky. Dia mengatakan anak-anak untuk mengubah nama-nama berbagai benda, dan kemudian bertanya kepada mereka pertanyaan tentang objek-objek ini. Salah satu anak disuruh untuk memanggil anjing dengan kata "sapi". Dia kemudian diminta 'Memiliki tanduk sapi? "Anak:" Ya, itu telah' percobaan: "Tapi sapi ini benar-benar anjing 'Anak.:" Tentu saja, jika anjing adalah sapi, jika disebut sapi , maka harus ada tanduk. Seperti anjing yang disebut coq harus memiliki tanduk kecil 'Vygotsky juga mengutip sebuah cerita tentang seorang petani yang, setelah mendengarkan dua mahasiswa astronomi berbicara tentang bintang, mengatakan bahwa ia bisa mengerti. Bahwa dengan bantuan instrumen orang bisa mengukur jarak dari bumi ke awal, dan menemukan posisi mereka dan gerak. Apa yang membuatnya bingung adalah bagaimana di setan mereka tahu nama-nama bintang!

Perbedaan antara konsep sebuah nama merupakan salah satu penting bagi diskusi kita saat ini. konsep adalah sebuah ide: nama sebuah konsep suara, atau tanda sebuah kertas, yang terkait dengan itu, asosiasi ini dapat dibentuk setelah konsep pembentukan itu. Jika nama yang sama keras atau dilihat setiap kali contoh konsep ditemui, pada saat konsep terbentuk nama telah menjadi begitu erat terkait dengan hal itu bahwa bukan hanya oleh anak-anak yang keliru untuk konsep itu sendiri . Secara khusus, angka (yang merupakan konsep matematika) dan angka (nama yang kita gunakan untuk nomor) secara luas bingung. Hal ini dibahas lebih lanjut dalam Bab 5.

Dikaitkan dengan konsep, penggunaan nama dalam kaitannya dengan objek membantu kita untuk mengklasifikasikan itu: yaitu, untuk mengakui itu sebagai milik kelas yang sudah ada. 'Apa ini' '? Sebuah jenis baru pembuka botol, yang bekerja dengan udara terkompresi. "Sekarang kita telah diklasifikasikan itu, yang kami tidak dapat dilakukan dengan sifat perseptual yang menyendiri, maka kita tahu apa yang harus dilakukan dengan hal itu. Klasifikasi ini dilakukan dengan membawa konsep pembuka botol untuk kesadaran pada saat yang sama dengan pengalaman baru.

Penamaan juga ca memainkan, kadang-kadang berguna yang penting, bagian dalam pembentukan konsep-konsep baru. Mendengar nama yang sama sehubungan dengan pengalaman yang berbeda memengaruhi kita untuk mengumpulkan mereka bersama-sama dalam pikiran kita, dan meningkatkan kesempatan kami abstrak kesamaan intrinsik mereka (yang berbeda dengan satu ekstrinsik menjadi disebut dengan nama yang sama). Penelitian juga menunjukkan bahwa nama yang berbeda berhubungan dengan kelas yang hanya sedikit berbeda dalam karakteristik mereka kemudian membantu untuk mengklasifikasikan contoh dengan benar, bahkan jika contoh kemudian tidak bernama. Nama membantu untuk memisahkan kelas sendiri.

Bahasa digunakan penamaan pada manusia, sehingga terkait erat dengan konsep-konsep dan informasi dan tidak bisa terlepas penamaan. Memang, banyak orang merasa sulit untuk memisahkan konsep dari nama, seperti yang ditunjukkan oleh ilustrasi berikut ini oleh Vygotsky. Dia mengatakan anak-anak untuk mengubah nama-nama berbagai benda, dan kemudian bertanya  tentang objek-objek kepada mereka.

Salah satu anak disuruh untuk memanggil anjing dengan kata "sapi".

Dia kemudian diminta ‘Memiliki tanduk "Anak" sapi’. Ya, itu  percobaan:

"Tapi sapi ini benar-benar 'Anak’ anjing".

Tentu saja, jika anjing adalah sapi, maka disebut sapi dan harus ada tanduk.

Seperti anjing yang disebut coq harus memiliki tanduk kecil

Vygotsky juga mengutip sebuah cerita tentang seorang petani yang setelah mendengarkan dua mahasiswa astronomi berbicara tentang bintang, mengatakan bahwa ia bisa mengerti. Bahwa dengan bantuan instrumen orang,bisa mengukur jarak bumi dari awal, serta menemukan posisi mereka dan gerak. Apa yang membuatnya bingung adalah bagaimana mereka tahu nama-nama bintang!

Perbedaan antara konsep sebuah nama merupakan salah satu yang penting. konsep adalah sebuah ide. nama sebuah konsep adalah suara atau tanda sebuah kertas. Asosiasi ini dapat dibentuk setelah konsep terbentukan, Jika nama yang sama  atau dilihat setiap kali. Contoh pada saat konsep membentuk nama telah menjadi begitu erat terkait dengan hal penamaan, bahkan bukan hanya oleh anak-anak yang keliru untuk konsep itu sendiri . Secara khusus, angka (yang merupakan konsep matematika) dan angka (nama yang kita gunakan untuk nomor) secara luas bingung. Hal ini dibahas lebih lanjut dalam Bab 5.

Dikaitkan dengan konsep, penggunaan nama dalam kaitannya dengan objek membantu kita untuk mengklasifikasikannya yaitu untuk mengakui itu sebagai milik kelas yang sudah ada.

'Apa ini'?? Sebuah jenis baru pembuka botol, yang bekerja dengan udara terkompresi. "Sekarang kita telah diklasifikasikan itu, yang tidak dapat dilakukan dengan sifat perseptual yang menyendiri, maka kita tahu apa yang harus dilakukan dengan hal itu. Klasifikasi ini dilakukan dengan membawa konsep pembuka botol untuk kesadaran pada saat yang sama dengan pengalaman baru.

Penamaan juga cara memainkan, kadang-kadang penting, bagian dalam pembentukan konsep-konsep baru. Mendengar nama yang sama sehubungan dengan pengalaman yang berbeda memengaruhi kita untuk mengumpulkan mereka bersama-sama dalam pikiran kita, dan meningkatkan kesempatan kami abstrak kesamaan intrinsik mereka (yang berbeda dengan satu ekstrinsik menjadi disebut dengan nama yang sama). Penelitian juga menunjukkan bahwa nama yang berbeda berhubungan dengan kelas yang hanya sedikit berbeda dalam karakteristik mereka kemudian membantu untuk mengklasifikasikan contoh dengan benar, bahkan jika contoh kemudian tidak bernama. Nama membantu untuk memisahkan kelas sendiri.

Bahasa Konsep

Kita dapat lihat bahasa itu dapat digunakan mempercepat pembentukan konsep dengan membantu mengumpulkan dan memisah contoh menyokong dan bukan contoh. Dapatkah itu digunakan untuk hubung singkat proses sama sekali semuanya, dengan secara sederhana melukiskan konsep secara lisan? terutama di matematika, ini adalah sering berusaha; mari kita menguji gagasan untuk definisi, kita biasa dengan membantu contoh. Mari kita memilih sederhana dan konsep terkenal, katakan merah dan bayangkan kita diminta kata ini arti dari dengan buta seseorang dari kelahiran, siapa telah memberi penglihatan dengan corneal korupsi. Arti dari kata konsep berasosiasi kata lalu; maka; tugas kita sekarang mengaktifkan orang ke bentuk konsep merah (yang dia tidak mempunyai bila kita mulai) dan asosiasikan ini dengan merah sabda.

Ada cara kita boleh lakukan ini. Secara ilmiah cenderung, dan barangkali tertarik akan fotografi warna, kita dapat memberi definisi. 'merah warna kita pengalaman dari terang panjang gelombang di daerah dari 0-6 mikron'. Akan dia sekarang punya konsep merah? tidak. Definisi seperti itu akan percuma kepadanya, walaupun tidak harus untuk maksud lain. Dengan tidak sengaja, dalam  yang sedemikian kotak, kita akan menunjuk obyek macam dan katakan, ini adalah merah 'harian; ini adalah dasi merah; ini adalah peloncat merah. . . ' dengan cara ini, kita akan mengatur untuk dia punya, tutup bersama pada waktunya, koleksi pengalaman dari yang kita harap bahwa dia akan abstrak dimiliki oleh banyak orang, merah. Penamaan disini menggunakan kita bantu, di jalan telah menjelaskan. Sama proses abstraksi dapat terjadi di keheningan. Tetapi mungkin banyak lambat: dan nama merah akan tidak menjadi melampirkan.

Jika dia sekarang minta berbeda pertanyaan, apa “colour” maksud?, kita tidak bisa lebih panjang mengumpulkan bersama contoh untuk dia dengan menunjuk; untuk contoh kita ingin merah, biru, hijau, kuning, … dan ini konsep mereka sendiri. Jika (dan hanya jika) dia telah punya konsep ini di milikinya pikiran - kehadiran mereka di pikiran kita tidak cukup - kemudian oleh mengumpulkan bersama kata untuk mereka, kita dapat mengatur untuk dia mengumpulkan bersama konsep mereka sendiri; dan jadi membuat mungkin, walaupun tidak menjamin, proses abstraksi. Penamaan (atau beberapa  lain simbolisasi) sekarang menjadi faktor pokok proses abstraksi,  dan tidak hanya berguna membantu.

Kita sekarang perlu membedakan antara dua jenis konsep. Itu yang diturunkan dari berhubungan dengan perasaan kita dan pengalaman motor dunia luar, merah seperti itu, sepeda motor, berat, panas, manis, akan jadi disebut konsep utama;  dan itu yang tidak memperhatikan dari  lainnya konsep kita akan disebut konsep sekunder. Jika konsep contoh konsep b, kemudian kita akan mengatakan itu b dari lebih tinggi order dari pada dengan jelas, jika contoh b,  dan b dari c, kemudian c juga dari lebih tinggi order daripada keduanya b dan dari lebih tinggi order daripada berarti tidak memperhatikan dari (secara langsung atau secara tidak langsung). 'Banyak abstrak' berarti 'banyak memindahkan dari pengalaman dunia bagian luar', yang sesuai dengan di setiap hari arti 'abstrak sabda'. Bandingan ini dapat hanya membuat diantara konsep di sama hirarki. Meskipun kita boleh menganggap itu sonata bentuk banyak abstrak lebih tinggi ordernya) konsep daripada warna, kita tidak bisa semestinya yang dua perbandingan.

Dihubungkan ide ini, dari order diantara konsep dan hirarki konseptual, bolehkan kita lihat banyak dengan jelas mengapa, untuk orang kita berpikir tentang, definisi merah cara tidak cukup komunikasi; untuk ini yang diharapkan sebelumnya konsep seperti warna, ringan, yang dapat hanya dibentuk jika konsep seperti merah, biru, green… mempunyai telah dibentuk. Secara umum, konsep lebih tinggi order dibanding dengan yang seseorang telah telah tidak bisa berkomunikasi kepadanya dengan definisi,  tetapi hanya dengan mengumpulkan bersama, untuk dia pengalaman, contoh cocok.

Dari apa menggunakan, bila ada, kemudian, definisi?

Dua menggunakan dapat melihat segera. jika adalah perlu (e.g. untuk filter warna fotografis) menentukan sebenarnya dengan di apa keterbatasan kita akan masih menyebut warna merah, kemudian di atas definisi akan mengaktifkan kita mengatakan dimana merah mulai dan menyelesaikan. Dan setelah berbuat lebih banyak sedang dalam proses abstraksi, i.e. di pembentukan lebih besar kelas berdasarkan di persamaan, definisi mengaktifkan kita ke kembali lagi sepanjang langkah kita. Dengan menyatakan semua itu (dan hanya kelas itu) yang konsep teliti kita termasuk, kita meninggalkan dengan hanya satu mungkin konsep yang esa kita melukiskan. Di proses kita telah menunjukkan bagaimana ini berhubungan dengan lain konsep dalamnya hirarki. Definisi dapat jadi melihat sebagai jalan menambahkan ketepatan kepada batas konsep, sekali dibentuk;  dan dari menyatakan dengan tegasnya perhubungan ke konsep lain.

Konsep baru, dari urutan yang lebih rendah, dapat juga berkomunikasi untuk pertama kali dengan ini berarti. sebagai contoh, jika kita dahulu subyek buta bertanya 'apa warna warna merah keungu-unguan?' dan kita tidak dapat menemukan kecukupan obyek warna merah keungu-unguan pertunjuk dia, kita dapat mengatakan 'ini warna, diantara merah dan biru, lebih banyak biru daripada merah'. Dengan ketentuan bahwa dia telah mempunyai konsep biru dan merah, dia dapat kemudian bentuk sedikitnya permulaan konsep warna merah keungu-unguan tanpa pernah setelah melihat warna ini.

Sejak kebanyakan dari konsep baru kita kebutuhan dalam setiap hari hidup dari agak baik rendah order, kita biasanya punya tersedia cocok order tinggi konsep untuk konsep baru untuk;menjadi secara mudah dapat disampaikan menurut definisi; sering mengikuti oleh contoh atau dua, yang kemudian melayani berbeda tujuan bahwa ilustrasi apa yang sesungguhnya adalah bangku tanpa sandaran?  'ini tempat duduk untuk seseorang, tanpa kembali, ' benar-benar definisi baik,  tetapi meskipun demikian beberapa contoh akan mengartikan konsep sedemikian mengenai mengeluarkan bantalan untuk berlutut di gereja, pouffe, dan kebun mengayunkan jauh banyak dengan sukses daripada lebih jauh uraian panjang lebar definisi.

Di matematika, akan tetapi, tidak hanya konsep jauh banyak abstrak daripada mereka yang setiap hari hidup,  tetapi petunjuk sebagian terbesar di petunjuk masih lebih besar abstraksi. Komunikasi konsep matematis oleh karena itu jauh lebih sulit, pada pihak keduanya komunikator dan gagang telepon. masalah ini akan jadi pengambilan atas lagi segera, setelah banyak topik umum lain tertentu telah menyelidiki.

Satu akibat lain asas ini, konsep itu lebih tinggi order di hirarki dibanding dengan yang seseorang telah tidak bisa berkomunikasi oleh, dapat sekarang menyimpulkan. Ini adalah, konsep itu sendiri tidak bisa menggambarkan: untuk beberapa konsep teliti harus contoh konsep ini, yang oleh karena itu dari lebih tinggi order daripada konsep lain. Kita dapat akan tetapi menggambarkan sebagian dari karakteristik konsep, diskusikan bagaimana mereka berfungsi,  dan membangun kesepakatan umum ide dengan penghubungan ini ke ide lain. Ini adalah cukup untuk tujuan kita, sebagai tentu saja ini harus dengan cara yang sama, saya percaya bahwa matematika tidak bisa persis menggambarkan,  tetapi hanya memberikan contoh.

Konsep Sebagai Warisan Budaya

Konsep dapat dibentuk dan digunakan kecuali menggunakan dalam bahasa. Kriteria  untuk mendapatkan sebuah konsep tidak bias hanya dengan mengatakan apa nama konsp tersebut, tetapi itu merupakan cara untuk mendapatkan petunjuk dalam konsep ini. Hewan contohnya, dapat ditarik kesimpulan bahwa hewan dibentuk dari konsep sederhana. Sebuah tikus, dilatih untuk memilih pintu yang diberi warna abu-abu sedang dengan abu-abu muda, jika sekarang akan ditawarkan pintu yang berwarna abu-abu sedang dengan abu-abu gelap. Ini adalah proses data dengan syarat “ lebih gelap dari”.

Contoh nyata adalah manusia dengan hewan yang mana manusia menggunakan bahasa. penerapan tersebut lebih nyata. Jika kita memilih sebuah kata acak, akan selalu ditemukan konsep dari kata tersebut- arti kata yang tidak spesifik (kecuali dalam kata benda).

Ada 2 cara untuk menemukkan sebuah konsep yang mana bias menjadikan sebuah konsep itu dapat difungsikan. Salah satunya dengan “ menggunakan “ sebuah contoh konsep.

Konsep ini bisa muncul dalam perbuatan dan pengalaman kita. Cara lain adalah dengan mendengarkan, membaca, atau membuat nama atau symbol untuk sebuah konsep. Hewan dapat melakukan hal pertama tapi hanya manusia dapat melakukan hal kedua. Hanya dengan mendengar bisa memberikan penguat bagi kelompok berdasarkan data langsung tapi pada persamaan diantara mereka. Yang terpenting, kita mengharapkan kemampuan tersebut untuk fungsi sebuah kesatuan yang tak berbentuk.

Hal ini didukung oleh bukti dari sumber – sumber lain. Anak – anak yang mempunyai kecerdasan yang sangat rendah tidak dapat belajar untuk berbicara karena memilikih kemampuan berbicara terbatas. Orang hutan, yang dekat dengan manusia dapat belajar untuk duduk diatas meja dan minum dengan sebuah cangkir, tapi tidak dapat berbicara. Manusia adalah makluk yang paling cerdas dan paling bias beradaptasi. Dia juga makluk yang berbicara.

Deteksi konsep ini adalah berdasarkan pengalaman – pengalaman yang mana bias memberi kemajuan pada mereka dan sentuan terhadap bahasa. hal itulah yang membedakan manusia dengan makluk lain. Hal ini adalah langkah pertama berdasarkan kenyatan dari potensi yang di berikan manusia itu lebih besar. Kecerdasan mambuat mereka berbicara tetapi perkataan (yang sudah di pelajari) adalah hasil untuk pembentukan dan penggunaan konsep yang lebih tinggi, dengan kolektif, membentuk pengetahuan dan budaya kita.

 Sebuah konsep merupakan cara memproses data yang memberi kesmpatan kepada pengguna untuk membahwa pengalaman lama yang berguna untuk membahwanya dalam situasi sekarang ini. Tanpa bahasa, masing – masing individu dapat membentuk konsep dengan bahasa, padahal proses pertama dapat dipercepat dan proses kedua mungkin bias dibuat. Selain itu, konsep dari perkataan lama dapat disimpulkan dan pelan – pelan dapat dikumpulkan dengan generasisecara sukses menjadi berguna untuk membantu masing – masing individu baru membentuk system konsep itu sendiri. 

Susunan nyata dari sebuah system konsep adalah sesuatu yang masing – masing individu dapat melakukan untuk dirinya sendiri. Tapi proses ini dapat dipercepat, juga dibicarakan. Hal ini seperti perbedaan antara pembangunan sebuah kapal dari kayu yang dibentuk dan harus bermulai dengan berjalan dihutan, menebang pohon, menyeretnya kerumah, membuat papan meratakannya dan memotongnya dengan kapak dan gergaji.

Hal itu merupakan pekerjaan yang serius yang dapat dibuat oleh manusia biasa. Konsep tersebut sepertinya halnya gravitasi, hasil dari penelitihan bertahun – tahun oleh orang yang mempunyai kecerdasan yang sangat tinggi sehingga semua orang didunia tahu dan menjadi berguna bagi para ilmuan yang mengikutinya. Orang yang pertama kali membentuk konsep dari pertemuan ini adalah untuk menyimpulkan dirinya sendiri, relaty tanpa pertolongan. Sesudah itu, bahas dapat digunakan secara langsung dalam pikiran yang mana mengikutinya bahwa mereka dapat membuat penjelajahan tang sama dalam waktu dan kecerdasan yang terbatas. Newton berkata, dengan modesty, “ jika saya melihat hal yang kecil yang jauh dari yang lain, itu karena saya berdiri di panggung raksasa” struktur konsep ini dari Ahli matematika dan ilmuan terdahulu yang berguna baginya.

Dalam konteks ini ide – ide umum sangat diperluka. Ini adalah mean yang mana tidakrelefan untuk komunikasi umum, jadi apa yang ada dalam satu kontek tidak dapat dijadikan yang lain (sebagai contoh jika kita mendengarkan musik ketika telepon berbunyi, suara dari bel menunjukkan informasi pada kita bahwa ada seseorang yang menelepon kita tapi suarah gaduh itu relaty terdengar dari musik). Suarah gaduh terbesar adalah membentuk sebuah konsep. Sebelum membaca letakan tanganmu di sekitar diagram yang ada disisi tangan kanan pada halaman berikutnya. Coba kamu membentuk sebuah konsep dari suara gaduh pada contoh dan bukan contoh, sekarang pindahkan tanganmu dan coba kamu membenbentuk konsep dari suara rendah pada contoh dalam konsep yang sama.

Dari contoh tangan kanan itu lebih muda untuk melihat konsep dari garis yang berseberangan. Suara gaduh yang amat keras, ditangan kiri adalah contoh garis – garis tambahan tapi yang lebih luas adalah dari fakta masing – masing seperti pada suatu benda.

Sebuah kiasan dari kecerdasan yang tinggi adalah kemampuan untuk membentuk konsep – konsep dibahwa kondisi dari suara gaduh yang amat besar. Tapi sekali kita mendapatkan sebuah konsep, kita dapat melihat contoh dimana sebelumnya kita tidak dapat melakukannya.

Kemampuan tentang Pemikiran Konseptual

 Pemikiran konseptual menganugerahkan pada pemakai kemampuan besar untuk menyesuaikan perilakunya kepada lingkungan, dan untuk membentuk lingkungannya untuk menysesuaikan kebutuhannya. Hasil ini yang sebagian dari melepaskan konsep dari kedua-duanya menyajikan pengertian data dan perilaku, dan manipulasi mereka bebas dari ini. Kita mengira  banyak ini diwarisi bahwa kita dengan susah tidak menyadari keuntungan yang mahabesar menikmati untuk melakukan sesuatu  yang dalam rangka menemukan apakah itu adalah hal yang terbaik untuk dilakukan! Tetapi, tentu saja, semua aktivitas utama, dari pengaturan bisnis atas membangun suatu pesawat terbang, dipasang dalam hati di depan mereka dibangun sesungguhnya.

Kemampuan konsep juga datang dari kemampuan mereka untuk berkombinasi dan menghubungkan banyak orang pengalaman berbeda, dan kelas mengalami. Semakin memisahkan konsep itu, semakin besar kemampuan mereka untuk lakukan ini. Orang laki-laki yang mengatakan 'jangan cemas aku dengan teori- hanya memberi aku fakta'- sedang mengatakan dengan bodoh. Satu set fakta dapat digunakan hanya dalam keadaan seperti ini bagi mereka menjadi anggota sedangkan suatu cerita sesuai memungkinkan kita untuk menjelaskan, meramalkan, dan mengendalikan suatu nomor; jumlah besar peristiwa tertentu di dalam kelas yang menghubungkan itu.

Suatu kontribusi lebih lanjut  kepada kemampuan tentang pemikiran konseptual diparut kepada pemendekan dari jengkal perhatian kita. Memori yang jangka pendek kita hanya dapat menyimpan, pada atas rata-rata, 7 kata-kata atau lain lambang. ( perubahan yang pada umumnya dikutip 7±3). Dengan jelas yang lebih tinggi order konsep lambang ini yang mana  menghadirkan, semakin besar semakin pengalaman yang disimpan yang mereka pusatkan. Matematika adalah kebanyakan abstrak, dan demikian yang kuat dari semua sistem teoritis. Itu adalah, oleh karena itu, berpotensi paling bermanfaat; dan ilmuwan khususnya, tetapi juga ahli ekonomi dan navigator, orang bisnis dan komunikasi agineers, menemukannya suatu sangat dibutuhkan/harus ada 'alat' (sistem pengolahan data) atau pekerjaan itu.

Kegunaannya adalah, bagaimanapun, hanya potensial ; dan banyak yang bekerja dengan letihnya pada berusaha untuk mempelajarinya sepanjang; seluruh hari sekolah mereka memperoleh itu; manfaat, dan tidak (ada) kenikmatan. Ini adalah sebab mereka bukanlah perhitungan jumlah belajar matematika sama sekali. Yang belakangan adalah suatu proses menyenangkan dan menarik, meskipun demikian banyak orang akan temukan ini susah untuk percaya. Apa yang   ditimbulkan/ dikenakan pada semua terlalu banyak anak-anak dan para siswa lebih tua adalah manipulasi lambang menikmati sedikit atau tidak (ada) maksud/ arti memasang, menurut sejumlah dihafal tanpa pikir- aturan yang dihafalkan. Ini adalah tidak hanya membosankan (sebab tidak berarti), itu sangat banyak lebih keras, sebab aturan terlepas satu sama lain adalah banyak lebih keras untuk diingat dibanding suatu struktur konseptual terintegrasi. titik yang belakangan akan dipungut pada bab yang berikutnya. Di sini kita akan berkonsentrasi pada komunikasi konsep matematika.

Pelajaran Konsep Matematika

Banyak pengetahuan sehari-hari kita diajarkan secara langsung untuk lingkungan kita, dan konsep itu melibatkan bukanlah sangat abstrak. Masalah yang tertentu ( tetapi juga kekuasaan) tentang matematika berada dalam  keadaan umum dan memisahkan besar nya , yang dicapai oleh generasi yang berurutan tentang individu terutama sekali cerdas masing-masing dari siapa tengah meringkas, atau menyamaratakan, konsep tentang generasi lebih awal. Pelajar yang sekarang ini harus memproses, bukan data mentah, tapi  sistem pengolahan data matematika ada. Ini adalah tidak hanya suatu keuntungan tak terkira, di dalam seorang siswa yang mampu dapat memperoleh gagasan tahun yang mengambil berabad-abad dari usaha yang lampau untuk berkembang: itu juga menyingkapkan pelajar itu kepada resiko tertentu. Matematika tidak bisa diajarkan secara langsung dari lingkungan yang sehari-hari, tetapi hanya secara tidak langsung dari  para ahli matematik lainnya. Paling baik, buatan ini dia sebagian besar bergantung pada gurunya ( termasuk semua yang menulis buku pelajaran matematika); dan, paling sial, itu menyingkapkan dia kepada kemungkinan memperoleh suatu ketakutan kekal dan tidak menyukai matematika.

Melalui prinsip yang pertama pelajaran matematika adalah lurus ke depan, itu adalah komunikator gagasan matematika, dan bukan penerima, siapa yang paling harus mengetahui nya. Dan yang dipikirkan mereka cukup sederhana pada mereka sendiri, aplikasi matematika mereka melibatkan banyak pemikiran sulit. Yang pertama untuk prinsip ini telah dinyatakan pada bab lebih awal :

(1) Konsep dari suatu order yang lebih tinggi dibanding seseorang ini tidak bisa dikomunikasikan kepadanya dengan suatu definisi, tetapi hanya dengan pengaturan untuk dia menghadapi suatu koleksi contoh yang sesuai.

 Yang kedua mengikuti secara langsung dari itu :

(2) karena dalam matematika contoh ini hampir berbeda lain konsep, itu harus dipastikan pertama bahwa ini telah dibentuk secara keseluruhan pelajar.

Yang pertama untuk prinsip ini dirusakkan oleh mayoritas luas buku pelajaran, masa lampau dan kini. Yang hampir di mana-mana kita lihat topik baru memperkenalkan, bukan oleh contoh, tetapi menurut definisi : tentang keseksamaan dan singkatnya yang paling bisa dihormati untuk guru (yang telah mempunyai konsep kepada yang (mana)  mereka menunjuk), tetapi tak dapat dipahami kepada para siswa itu. Untuk berbagai alasan yang akan jadi nyata, contoh tidak bisa jadilah cukup di sini: tetapi pembaca diundang untuk memverifikasi statemen ini untuk sendirinya. Ini juga suatu manfaat berlatih untuk memperhatikan definisi beberapa gagasan yang baru ke dirinya, di dalam buku tentang matematika di luar langkah yang (mana)  seseorang sudah mencapai. Ini memungkinkan satu untuk mengalami dari sumber langsung kegagalan pelajar yang lebih muda itu.

Para guru baik yang dengan tidak sengaja membantu suatu definisi dengan contoh. Untuk memilih suatu koleksi pantas adalah, bagaimanapun, lebih keras dibanding bunyi itu. Contoh harus mempunyai bersama-sama yang kekayaan membentuk konsep itu, tetapi tidak ada orang yang lain. Untuk menaruhnya dengan cara yang berbeda, mereka harus mirip di dalam tatacara yang (diharapkan) untuk diringkas, dan jika tidak cukup berbeda untuk kekayaan yang tidak relevan pada  konsep tertentu ini  untuk batalkan ke luar; atau, dengan teliti gagal ke penjumlahan. Ingatan kekayaan yang tidak relevan ini mungkin (adalah) dihormati seperti suara gaduh, kita boleh katakan bahwa beberapa suara gaduh adalah bagi formasi konsep. Di (dalam) langkah-langkah yang lebih awal, suara gaduh rendah membersihkan perwujudan konsep, dengan kecil/sedikit mengacaukan detil adalah diinginkan; tetapi ketika konsep tidak menjadi betul-betul mendirikan;tetapkan, suara gaduh terus meningkat mengajar penerima itu untuk memisahkan kekayaan yang konseptual dari contoh yang lebih sulit, dan demikian mengurangi ketergantungan nya pada guru itu.

Mengubah suatu koleksi pantas dengan begitu memerlukan daya temu kedua-duanya dan selalu membersihkan kesadaran konsep untuk dikomunikasikan. Sekarang adalah mungkin untuk mempunyai, dan menggunakan, suatu konsep pada suatu tingkatan intuitif tanpa yang sedang dengan sadar akan itu. * Ini berlaku terutama sekali bagi sebagian dari hal-hal paling mendasar dan sering menggunakan gagasan; sebagian sebab yang semakin otomatis manapun aktivitas, semakin sedikit kita memikirkan itu; sebagian sebab pokok yang paling gagasan untuk matematika diperoleh pada suatu awal umur ketika kita tidak mempunyai kemampuan untuk meneliti nya; dan sebagian sebab sebagian dari gagasan yang pokok ini adalah juga antar yang paling sulit dipisahkan itu. Tetapi adalah mudah keliru bahkan ketika faktor ini tidak berlaku.

Beberapa anak-anak dari Afrika  sedang belajar dalil pythagoras. Mereka telah mengcopy suatu segi tiga right-angled dari papan yang hitam, dan telah diberitahu untuk membuat suatu bujur sangkar pada atas sisi masing-masing. Ini mereka lakukan dengan cukup mudah untuk dua sisi lebih pendek; tetapi mereka adalah hampir semua kesukaran ketika mereka mencoba untuk menggambar/menarik yang bujur sangkar pada atas hipotenusa itu. Banyak di antara mereka menggambar/menarik figur kira-kira c.

 Dari ini, aku tertarik bahwa yang bujur sangkar dari yang mereka telah membentuk konsep mereka mempunyai semua 'bujur sangkar' kepada catatan/kertas, dan telah tidak mencakup apapun secara miring menempatkan contoh. Semua juga dengan mudah yang dilaksanakan!

Yang kedua tentang dua prinsip, bahwa konsep urutan yang lebih rendah yang perlu harus menyajikan sebelum yang berikutnya langkah abstrak adalah mungkin, nampak lebih  secara langsung lagi. Untuk menaruh efek ke dalam ini, bagaimanapun, berarti sebelum itu yang kita taruh untuk mengkomunikasikan suatu konsep baru, kita harus menemukan apa yang menyokong konsep; dan untuk masing-masing dari ini, kita harus menemukan apa yang menyokong konsep; dan seterusnya, sampai kita menjangkau yang manapun konsep utama, atau pengalaman yang kita boleh mengasumsikan ketika 'yang diberi'. Ketika ini telah dilaksanakan, suatu kereta rencana pantas kemudian dibuat yang akan hadir kepada pelajar adalah suatu mungkin, dan bukan suatu mustahil, tugas.

Analisa yang konseptual ini melibatkan jauh lebih bekerja sekedar memberi suatu definisi. Jika yang dilaksanakan, memimpin ke arah beberapa yang mengejutkan hasil. Gagasan yang (mana) sampai yang pertama diajar universitas kursus kini dilihat untuk jadi maka pokok yang mereka diperkenalkan di sekolah dasar itu; sebagai contoh, menetapkan, one-to-one surat menyurat. * Lain topik masih menghormati seperti dasar ditemukan, pada analisa, untuk melibatkan gagasan yang (mana)  bahkan mereka mengajar topik itu mempunyai sebagian terbesar tidak pernah yang mendengar tentang. Di (dalam) kategori ini yang aku meliputi manipulasi dari angka-angka kecil.

Ada dua konsekuensi lain dari prinsip ke-dua. Yang pertama adalah bahwa membangun struktur tentang abstrak berurutan, jika tingkatan tertentu dengan tidak sempurna dipahami, segalanya dari pada atas adalah risiko. Ketergantungan ini  matematika mungkin lebih besar dibanding pokok lain. Seseorang dapat memahami geografi Afrika sekalipun seseorang mempunyai luput itu Eropa; seseorang dapat memahami sejarah abad yang ke sembilan belas sekalipun sese]orang mempunyai luput yang ke-delapan belas nya; di (dalam) ilmu fisika seseorang dapat memahami 'panas dan cahaya' sekalipun salah satu dari mempunyai luput 'bunyi;serasi'. Tetapi untuk memahami aljabar tanpa pernah setelah benar-benar memahami perhitungan adalah suatu ketidakmungkinan, karena sebagian besar aljabar yang kita belajar di sekolah disamaratakan perhitungan. Karena para murid banyak orang belajar untuk lakukan manipulasi perhitungan dengan suatu pemahaman yang tidak sempurna mendasari prinsip, itu adalah mengherankan kecil yang matematika tinggal suatu buku tertutup kepada mereka. Bahkan mereka yang mendapatkan mulai kepada suatu start baik boleh melalui ketidak hadiran, tidak diperhatikan, kegagalan untuk menyimpan atas dengan langkah kelas, atau alasan, gagal untuk membentuk konsep beberapa langkah tertentu. Di (dalam) kasus, semua bergantung konsep yang berikut ini tidak boleh dipahami, dan murid menjadi dengan mantap lebih ke luar dari kedalamannya. Di (dalam) kasus surat, bagaimanapun, situasi adalah satu buatan yang  mengikuti jalan punggung mungkin; e.g., jika teks yang digunakan menyediakan suatu penjelasan asli, dan bukan hanya suatu koleksi latihan. Sukses kemudian akan tergantung sebagian pada kepercayaan pelajar di (dalam) kuasa-kuasa pengertian miliknya.

Konsekuensi lain ( tentang prinsip yang kedua ) adalah bahwa konsep yang menyokong perlu untuk masing-masing langkah yang baru abstrak harus tersedia. Itu tidaklah cukup untuk mereka untuk telah diajarkan pada waktu beberapa di masa lalu: mereka harus dapat diakses ketika diperlukan. Ini adalah sebagian suatu perihal, lagi, tentang mempunyai menikmati fasilitas yang tersedia untuk mengikuti jalan punggung. Revisi yang sesuai, yang direncanakan oleh seorang guru, akan jadi yang bermanfaat untuk pemula; tetapi lebih mengedepan para siswa harus membawa lebih suatu bagian aktiv di (dalam) arah tentang studi mereka sendiri, dan, untuk ini, kembali ke mengambil yang lain memperhatikan pekerjaan lebih awal akan jadi yang lebih efektif jika itu diarahkan oleh suatu kebutuhan dirasakan dibanding/bukannya oleh suatu instruksi luar. Untuk menaruhnya dengan cara yang berbeda, suatu jawaban mempunyai lebih maksud untuk seseorang yang mempunyai lebih dulu bertanya suatu pertanyaan.

Pelajaran Dan Pengajaran

Di dalam belajar matematika, walaupun kita harus menciptakan semua konsep lagi di (dalam) pikiran kita sendiri. Kita hanya mampu lakukan ini dengan penggunaan konsep itu yang tiba di para ahli matematik yang lampau. Ada terlalu sulit bahkan suatu genius untuk merusak seumur hidup.

 Buatan ini yang belajar matematika, terutama dalam  tahap awalnya, dan untuk rata-rata para siswa, seluruhnya pada pengajaran yang baik. Sekarang, untuk mengetahui matematika satu hal, dan untuk; menjadi mampu mengajar itu- untuk mengkomunikasikannya kepada mereka pada suatu tingkatan konseptual lebih rendah- adalah yang lain yang sungguh; dan aku percaya bahwa ia adalah yang belakangan yang mana adalah paling kekurangan pada saat. Sebagai hasilnya, banyak orang-orang memperoleh di sekolah suatu kekal tidak menyukai, genap ketakutan, tentang matematika.

Adalah baik untuk melaporkan bahwa usaha tersebar luas dibuat untuk memperbaiki ini, sebagai contoh oleh pengenalan tentang syllabi baru, presentasi yang lebih menarik, rangkaian televisi, dan alat lain. Usaha ini akan semua bagaimanapun menjadi nilai lebih besar jika mereka dikombinasikan dengan kesadaran yang lebih besar pengolah mental melibatkan pelajaran matematika. Ini akan mengurangi bahaya tentang topik baru yang dipilih sebagian besar menurut pertunjukan yang sekarang, dan mengajar hampir dengan sangat buruk ketika mereka yang menggantikan.

Di (dalam) bab ini, meskipun demikian kita tengah mendiskusikan pembentukan konsep matematika, kebanyakan dari contoh yang yang digunakan telah (menjadi) bukan mathematical. Konsep matematika adalah hasil sangat banyak abstrak, memperoleh dari abstrak, dan seterusnya, bahwa argumentasi yang psikologis akan telah dalam bahaya hilang di dalam kompleksitas mathematical contoh. Bahkan seperti  topik yang sederhana hitungan, atau merindukan perkalian, ditemukan pada pengujian untuk melibatkan anehnya banyak konsep urutan yang lebih rendah.

Pembaca yang merasakan bahwa waktu untuk beberapa contoh matematika boleh, jika ia mengharapkan, sekarang berbalik ke Bab 8, bab bagian yang pertama dari B. Di sini gagasan untuk bab ini yang diterapkan adalah suatu pengujian sebagian dari hal-hal paling mendasar gagasan untuk matematika dasar. Pada diusulkan bahwa Bab 3 kemudian adalah membaca sebelum berkelanjutan lebih lanjut  dengan Bagian B; setelah yang mana pembaca boleh membaca bagian suatu dan B di dalam paralel, atau membaca buku itu dengan teratur ketika dicetak, menurut pilihannya.