BILANGAN REAL

Pada bab ini dibahas sifat-sifat penting dari sistem bilangan real  ℝ , seperti sifat-sifat aljabar, urutan, dan ketaksamaan. Selanjutnya, akan diberikan beberapa pengertian seperti bilangan rasional, harga mutlak, himpunan terbuka, dan pengertian lainnya yang berkaitan dengan bilangan real.

1.1. Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam ℝ

Sebelum menjelaskan tentang sifat-sifat  ℝ , diberikan terlebih dahulu tentang struktur aljabar dari sistem bilangan rea

l. Akan diberikan penjelasan singkat mengenai sifat-sifat dasar dari penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat aljabar lain yang dapat diturunkan dalam beberapa aksioma dan teorema. Dalam terminologi aljabar abstrak, sistem bilangan real membentuk lapangan (field) terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian biasa.

Sifat-sifat Aljabar  ℝ

Pada himpunan semua bilangan real ℝ  terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan

“+”    dan    “.”    yang    disebut    dengan    penjumlahan    (addition)    dan    perkalian

(multiplication). Operasi biner tersebut memenuhi sifat-sifat berikut:

(A1)       a   b    b    a untuk semua a, b

ℝ (sifat komutatif penjumlahan)

(A2)       (a    b)   c    a

(b    c) untuk semua a, b, c      ℝ (sifat assosiatif penjumlahan)

(A3)      terdapat 0   ℝ sedemikian hingga 0     a    a dan a   0

(eksistensi elemen nol)

a untuk semua a    ℝ

(A4)      untuk  setiap  a    ℝ   terdapat      a    ℝ  sedemikian  hingga  a

(  a)    0

dan

(  a)   a

0 (eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan)

(M1)      a b    b a untuk semua a, b        ℝ (sifat komutatif perkalian)

(M2)      (a b) c    a

(b c)

untuk semua a, b, c      ℝ (sifat assosiatif perkalian)

(M3)      terdapat 1   ℝ  sedemikian hingga 1 a      a  dan  a 1

(eksistensi elemen unit 1)

a  untuk semua  a    ℝ

(M4)

untuk setiap a    ℝ ,  a

0  terdapat  1

a

ℝ sedemikian hingga

æ 1 ö a ç         ÷ è a ø

1 dan

æ 1 ö

a

ç     ÷ a

è     ø

1 (eksistensi invers perkalian)

(D)

a (b    c)    (a b)    (a c)

dan (b   c) a

(b a)    (c  a)

untuk semua

a, b, c     ℝ

(sifat distributif perkalian atas penjumlahan)

Sifat-sifat di atas telah umum diketahui. Sifat (A1)-(A4) menjelaskan sifat penjumlahan,            sifat                         (M1)-(M4)              menjelaskan    sifat    perkalian,    dan   sifat   terakhir menggabungkan kedua operasi.

Selanjutnya, diberikan beberapa teorema tentang elemen 0 dan 1 yang telah diberikan pada sifat (A3) dan (M3) di atas. Juga akan ditunjukkan bahwa perkalian

dengan 0 akan selalu menghasilkan 0.

Teorema 1.1.1.

(a)     Jika

z, a    ℝ dengan z     a    a , maka z    0 .

(b)    Jika u dan b

0 elemen ℝ dengan u b     b , maka u     1 .

(c)     Jika a    ℝ , maka a

0    0 .

Bukti.

(a) Menggunakan aksioma (A3), (A4), (A2), asumsi z     a    a , dan (A4), diperoleh

z    z    0

z     a    (  a)

z    a          a a                a

0.

(b) Menggunakan aksioma (M3), (M4), (M2), asumsi u b      b , dan (M4), diperoleh

u     u 1

b

æ u ç è

b

æ   1 ö ö ç            ÷ ÷

è     ø ø

b

æ   1 ö u b ç            ÷ è         ø

b

æ 1 ö b ç             ÷ è         ø

1.

(c) Karena a    a  0

a 1   a  0

a. 1   0

a 1    a , maka a

0    0 .

Dengan demikian, maka teorema terbukti.                                                                              

Teorema 1.1.2.  Jika a    ℝ , maka

(a)            1 .a      a .

(b)              a      a .

(c)            1       1     1 .

Selanjutnya,  diberikan  dua  sifat  penting  dari  operasi  perkalian,  yaitu  sifat ketunggalan  elemen  inversnya  dan  bahwa  perkalian  dua  bilangan  itu  hasilnya  nol

apabila salah satu faktornya adalah nol.

Teorema 1.1.3.

(a)     Jika a    b

0 , maka b       a .

(b)    Jika a

0 dan b    ℝ sedemikian hingga a b

1, maka b    1 . a

(c)     Jika a b

0 , maka a

0 atau b    0 .

Bukti.

(a) Karena a    b

0 , maka

a   b    0

a       a   b          a     0

a     a     b       a                        (A2 dan A3)

(b) Karena a  b

0    b      a                                      (A4)

b      a .                                          (A3)

1 , maka

a b   1

æ 1 ö               1

a

ç     ÷  a b          1

è     ø               a

a

æ 1     ö           1

ç a     ÷ b      a

è         ø

1 b    1

a

b    1 . a

(c) Diketahui a  b

0 , maka

a b    0

æ 1 ö     a b

æ 1 ö 0

a                   a

ç     ÷                ç     ÷

è     ø                è     ø

a

æ 1     ö

ç a     ÷ b      0

è         ø

a

æ 1     ö

ç a     ÷ b      0

è         ø

1 b    0

b    0 .

Dengan cara yang sama, kedua ruas dikalikan dengan 1 , maka diperoleh a     0 .

b

Dengan demikian teorema terbukti.                                                                                 

Teorema  tersebut  di  atas  menjelaskan  beberapa  sifat  aljabar  sederhana  dari sistem bilangan real. Beberapa akibat dari teorema tersebut diberikan sebagai bahan latihan soal di bagian akhir subbab ini.

Operasi  pengurangan  (substraction)  didefinisikan  dengan

a   b :  a

(  b)

untuk

a, b     ℝ . Sama halnya dengan operasi pembagian (division), untuk

a, b     ℝ

dengan b

0 didefinisikan a :

b

b

.

æ 1 ö a ç         ÷ è         ø

Untuk selanjutnya,  a b  cukup dituliskan dengan  ab , dan penulisan  a2

untuk

aa, a3

untuk

a2    a , dan secara umum didefinisikan

an  1 :

an    a  untuk n    ℕ . Lebih

lanjut,  a1

a , dan jika  a

0 , maka dapat ditulis

a0        1

dan

a 1   untuk  1 , dan jika

a

n    ℕ , dapat ditulis a n

a

ç     ÷

n

untuk æ 1 ö  .

è     ø