statistika

BAB 1

STATISTIKA

1. BEBERAPA ISTILAH DALAM STSTISTIKA
   1. Pengertian Statistika dan Statistika

Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang matematika terapan yang membahas metode-metode ilmiah tentang tata cara mengumpulkan dan mengelompokkan data,menyusun dan menyajikan data, sampai pada mengambil kesimpulan yang sahih sehingga keputusan yang diambil dapat diterima.

Nilai-nilai ukuran data yang didapatkan dari perhitungan seperti rataan, median, modus, kuartil, jankauan, dan lain-lain merupakan nilai statistika.

1. Pengertian Populasi dan Sampel
   1. Ukuran sampel. Jika sampel terlalu sedikit, maka ada kemungkinan sampel tidak mempresentasikan populasi secara benar.Sampel juga jangan terlalu besar, karena sampel yang besar akan memerlukan waktu, tenaga, dan biaya yang besar pula.
   2. Metode pengambilan sampel. Perlu diingat bahwa pengambilan sampel dilakukan secara acak (random). Artinya tiap objek dalam populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih sebagai sampel.
   3. Pengertian Datum dan Data

Misalkan kita melakukan pengamatan terhadap hasil ulangan matematika 10 orang siswa. Hasilnya sebagai berikut:

6 8 6 5 7 6 5 9 10 10

angka-angka 6, 8, 6, ..., 10 masing-masing disebut datum. Keseluruhan angka-angka tersebut disebut data.

Jadi, datum merupakan informasi yang di dapat dari pengamatan terhadap obyek. Datum dapat berupa angka atau lambang. Data adalah kumpulan dari datum-datum secara keseluruhan.

1. Jenis-jenis Data

Berdasarkan jenisnya, data dikelompokkan menjadi dua macam.

1. Data Kuantitatif adalah data yang menunjukkan ukuran objek yang diamati. Karena berupa ukuran, maka data kuantitatif

Data kuantitatif disajikan dalam bentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif di bagi dua macam:

1)      Data Diskrit, yaitu data yang diperoleh dengan acara menghitung banyak objek yang diamati. Misalnya data tentang banyaknya anak SMA kelas 3 yang tidak lulus UAN.

2)      Data kontinu, yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur objek yang diamati. Misalnya data tentang tinggi badan anak SMA kelas 2IPS.

1. Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang menunjukkan keadaan fisik suatu objek yang diamati. Data kualitatif dibagi menjadi dua macam:

1)      Data Nominal, yaitu data yang memerlukan sub bagian untuk melengkapi deskripsi data. Contoh: warna kulit: cokelat, kuning langsat, dan hitam.

2)      Data Ordinal, yaitu data yang memerlukan pemeringkatan untuk mendeskripsikan data. Contoh: kecepatan siswa dalam mengerjakan soal: cepat, sedang, lambat.

1. STATISTIKA DESKRIPTIF

1)      Ukuran Pemusatan

Terdapat tiga buah nilai statistika yang dapat dimiliki sekumpulan data yang telah diperoleh, yaitu:

a)      Rataan Hitung (mean)

Rataan hitung atau mean dari suatu data didefinisikan sebagai jumlah semua nilai datum dibagi dengan banyaknya datum yang diamati.

Rataan hitung(mean)      

Misalnya diberikan data x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka rataan hitung data tersebut dapat dinyatakan sebagai:

  atau   ͞x    

b)      Median

Median adalah nilai tengah yang membagi seluruh data menjadi dua bagian yang sama apabila data telah diurutkan. Secara umum, misalnya diberikan data tunggal terurut x₁, x₂, x₃, ..., xn dengan x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ ... ≤ xn, maka median dari data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

1)       jika n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum ke- (), yaitu median =    

2)      Jika n genap, maka mediannya adalah rataan nilai datum ke-   dan nilai datum ke-(   + 1), yaitu median                    ( X   +   + 1).

c)      Modus

Modus dari suatu data didefinisikan sebagai  nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbanyak. perhatikan bahwa pada suatu data, modus yang diperoleh bisa lebih dari satu nilai bahkan tidak ada sama sekali.

2)      Ukuran Letak

Terdapat dua ukuran letak yang akan kita pelajari, yaitu:

1. Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi seluruh data menjadi empat bagian yang sama.

median membagi seluruh data menjadi dua bagian yang sama, yaitu bagian sebelah kiri dan bagian sebelah kanan. Apabila bagian sebelah kiri dibagi lagi menjadi dua bagian yang sama, maka nilai yang membagi tersebut disebut kuartil bawah atau kuartil pertama (Q₁) dan apabila bagian sebelah kanan dilakukan yang sama, maka nialai yang membagi tersebut disebut kuartil atas atau kuartil ketiga (Q₃) dan mediannya disebut kuartil tengah atau kuartil kedua (Q₂).

Untuk ukuran data minimal terdiri dari empat datum, kita bisa menentukan ketiga nilai kuartilnnya.

1)      Kuartil Pertama atau kuartil bawah, yaitu Q₁ yang membagi data menjadi  data nilainya ≤ Q₁ dan  data nilainya ≤ Q₁.

2)      Kuartil kedua atau kuartil tengah, yaitu Q₂ yang membagi data menjadi  data nilainya ≤ Q₂ dan  data nilianya ≥ Q₂.

3)      Kuartil ketiga atau kuartil atas, yaitu Q₃ yang membagi data menjadi  data nialainya ≤ Q₃ dan  data nilainya ≥ Q₃.

Untuk menentukan kuartil dari suatu data yang telah diurutkan bisa dilakukan dengan cara yang telah disebutkan diatas, bisa juga menggunakan rumus sebagai berikut:

Q₁ =

dengan

                                         Q₁                     = kuartil ke-1

  n              = banyaknya datum

      = datum pada urutan ke-          

1. Desil

Desil adalah ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian sama besar. Berarti kita dapatkan sembilan buah desil, yaitu D₁, D₂, D₃, ..., D₉ dengan Di melambangkan desil ke-i. Desil ke-i membagi data menjadi  data nilainya ≤ Di dan  data nilianya ≥ Di.

1)      D₁ membagi data menjadi  data nilainya ≤ D₁ dan  data nilianya ≥ D₁.

2)      D₅ membagi data menjadi  data nilainya ≤ D₅ dan  data nilianya ≥ D₅.

3)      D₈ membagi data menjadi  data nilainya ≤ D₈ dan  data nilianya ≥ D₈.

Untuk menentukan desil ke-i, akan lebih mudah dengan cara menggunakan rumus:

Di =

dengan

Di              = desil ke-i

n                = banyaknya datum

      = datum pada urutan ke-

1. Ukuran Penyebaran

Statistik lima serangkai yang telah kita bahas memberikan gambaran tentang pemusatan data. Selanjutnya untuk mendapatkan keterangan atau gambaran yang lengkap tentang suatu data kita perlu mengetahui juga ukuran persebaran data, yaitu:

1)      Jangkauan Data

Ukuran penyebaran data yang sederhana adalah jangkauan data atau rentan data. Jangkauan data adalah selisih antara nilai datum terbesar (Xmaks)  dengan nilai datum terkecil (Xmin). Jangkauan dilambangkan dengan “J”.

J = Xmaks – Xmin

2)      Jangkauan Antarkuartil (Hamparan)

Jangkauan antarkuartil atau hamparan diartikan sebagai selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Hamparan dilambangkan dengan “H”.

H = Q₃ - Q₁

3)      Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Antarkuartil)

Simpangan kuartil atau jangkauan semi antarkuartil didefinisikan sebagai setengah dari hamparan. Simpangan kuartil dilambangkan dengan “Qd’.

Qd =  H =  (Q₃ - Q₁)

4)      Langkah (L)

Langkah dirumuskan dengan

L =  (Q₃ - Q₁)

5)      Pagar Dalam

Pagar dalam dirumuskan dengan

Pagar dalam = Q₁ - L

6)      Pagar Luar

Pagar luar dirumuskan dengan

Pagar luar = Q₃ + L

7)      Simpangan Rata-rata(SR)

Simpangan rata-rata adalah ukaran seberapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap rataan. Dirumuskan dengan

SR =    

dengan  n menyatakan banyaknya datum

               xi menyatakan data ke-i

             ͞   menyatakan rataan

8)      Ragam (S²)

Ragam adalah ukuran yang menyatakan rata-rata kuadrat jaraksuatu data dari nilai rataannya, dirumuskan dengan

S² =    Type equation here.

9)      Simpangan Baku (S)

Simpangan baku dirumuskan dengan

S =

1. PENYAJIAN DATA
   1. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
      1. Diagram Garis

Untuk menyajikan perkembangan data yang berkesinambungan (kontinu) seperti informasi berat badan bayi, suhu badan pasien di rumah sakit, curah hujan dan sebagainya sebaiknya disajikan dalam bentuk diagram garis.Dalam diagram garis waktu biasanya ditempatkan pada sumbu datar (sumbu-X) dan nilai data ditempatkan pada sumbu tegak (sumbu-Y) sehingga diperoleh titik-titik koordinat. Jika titik-titik yang berurutan dihubungkan oleh garis lurus, maka akan diperoleh diagram garis.

Diagram garis berikut menunjukkan perkembangan berat badan bayi dari minggu pertama sampai minggu kelima.

3,8                              interpolasi

   3,5                                                                           ekstrapolasi

3,0

                     I          II          III            IV             V 

Dari data di atas, kita dapat mengikuti kecenderungan dari data yang kita amati. Ruas garis – ruas garis menunjukkkan perkembangan berat badan bayi dari minggu pertama sampai dengan minggu kelima disebut garis interpolasi, sedangkan ruas garis setelah minggu ke lima yang menunjukkan ramalan perkembangan data yang akan disebut garis ekstrapolasi.

1. Diagram Batang

cara penyajian data stastika lainnya untuk menampilkan data agar lebih kelihatan menarik adalah dengan menggunakan diagram batang pada diagram batang terdapat dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan sumbu tegak. Sumbu mendatar biasanya untuk batang yang mewakili jenis data,sedangkan sumbu tegak untuk skala yang mewakili banyaknya data. antara batang yang satu dengan batang yang lain diberi jarak sehingga letaknya terppisah. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut!

Hasil survey yang dilakukan terhadap penduduk suatu kelurahan tentang jenis pekerjaan, diperoleh data sebagai berikut:

100 orang bekerja sebagai PNS

250 orang bekerja sebagai petani

25 orang bekerja sebagai TNI

125 orang bekerja sebagai Pedagang

25 orang bekerja sebagai Dokter

Buatlah diagram batang dari hasil survey tersebut!

Diagram batang dari hasil survey di atas ditunjukkan oleh Gambar 1.3 berikut.

250

125

100

   25

                       PNS          Petani         TNI        Pedagang       Dokter

                                           Gambar   1.3

1. Diagram Lingkaran

Penyajian data statistik lainnya adalah dengan menggunakan diagram Lingkaran. pada diagram lingkaran, daerah lingkaran dibagi menjadi beberapa juring dengan sudut pusatnya sesuai dengan proporsi data yang disajikan pada juring tersebut. Untuk lebuh jelasnya, perhatikan contoh berikut!

Hasil survey yang dilakukan terhadap 90 orang siswa adalah sebagai berikut: 45 orang menyukai sepak bola, 15 orang menyukai bola voli, 20 orang menyukai basket, dan 10 orang menyukai bulu tangkis.

Buatlah diagram lingkaran dari data di atas!

Jawab:

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai sepakb x 360 = 180⁰

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bola voli =  x 360

= 60⁰

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bola basket =  x 360

= 80⁰

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bulu tangkis =  x 360

= 40⁰

1. Daftar Distribusi Frekuensi

penyajian suatu data dapat dilakukan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi. Metode ini digunakan untuk data berukuran besar   (n ≥ 30).

1. Daftar Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Diketahui data mengenai jumlah anak dari 30 karyawan suatu perusahaan sebagai berikut:

3 2 0 1 4 2 2 2 1 2

0 3 3 2 1 1 2 1 2 2

2 1 2 2 0 3 1 1 2 3

data diatas dapat dibuat daftar distribusi frekuensi data tunggal seperti daftar dibawah ini:

Jumlah anak	Turus	Frekuensi
0 1 2 3 4	III IIII III IIII IIII II IIII I	3 8 13 5 1
	Jumlah	30

1. Daftar Distribusi Frekuensi Data Berkelompok

Untuk data yang sangat besar, bila kita menggunakan daftar distribusi frekuensi data tunggal, maka akan diperoleh daftar yang panjang. Untuk itu data tersebut kita kelompokkan dalam suatu kelompok yang disebut kelas interval sehingga diperoleh daftar distribusi frekuensi data berkelompok.

Buatlah daftar distribusi frekuensi data berkelompok dari data nilai ulangan matematika dari 40 siswa di bawah ini!

79 60 62 56 68 72 64 58 52 59 52 62 70 72 74 70 57 62 61 63

68 73 78 64 53 67 62 53 72 74 71 51 60 68 67 70 55 52 77 63

jawab:

Dari data tersebut diperoleh nilai Xmin =  51 dan Xmaks = 79 sehingga jangkauan data adalah J = Xmaks – Xmin = 79 – 51 = 28

Jumlahkelas interval (k) dengan menggunakan aturan Sturgess, yaitu   

k = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,9 = 6,26 kita bulatkan nilai k menjadi 6.

Panjang kelas dapat ditentukan dengan rumus c =  =  = 4,67 = 5

Karena Xmin = 51, maka kelas interval pertama 51 – 55. Dari contoh 1.10 dapat dibuat daftar distribusi frekuensi data seperti pada tabel 1.2.

Kelas Interval	Turus	Frekuensi
51-55	IIII II	7
56-60	IIII I	6
61-65	IIII IIII	9
66-70	IIII III	8
71-75	IIII II	7
76-80	III	3
	JUMLAH	40

1. Daftar Distribusi Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif suatu kelas interval diperoleh dengan membagi frekuensi kelas interval tersebut dengan jumlah data. Data pada contoh 1.10 dapat di buat ke dalam tabel berikut:

Kelas Interval	Frekuensi	Frekuensi Relatif
51-55	7	0,175
56-60	6	0,15
61-66	9	0,225
67-70	8	0,2
71-75	7	0,175
76-80	3	0,075
jumlah	40

1. Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif

Terdapat dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif, yaitu:

1)      Daftar distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari’ adalah jumlah seluruh frekuensi dari data yang nilainya kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas pada setiap kelas, dilambangkan dengan

“fk ≤”. Untuk lebih jelas perhatikan tabel 1.4 berikut:

Tabel 1.4 kumulatif Kurang Dari

Kelas Interval	Frekuensi	Nilai	fk ≤
51-55	7	≤55,5	7
56-60	6	≤60,5	13
61-65	9	≤65,5	22
66-70	8	≤70,5	30
71-75	7	≤75,5	37
76-80	3	≤80,5	40

2)      Daftar distribusi frekuensi kumulatif “lebih dari” adalah jumlah seluruh frekuensi dari data yang nilainya lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas, dilambangkan dengan

“fk ≥”. Untuk lebih jelas perhatikan Tabel 1.5 berikut:

Tabel 1.5 Frekuensi kumulatif Lebih Dari

Kelas Interval	Frekuensi	Nilai	fk ≥
51-55	7	≥50,5	40
56-60	6	≥55,5	33
61-65	9	≥60,5	27
66-70	8	≥65,5	18
71-75	7	≥70,5	10
75-80	3	≥75,5	3

1. Histogram, Poligon frekuensi, dan Ogive

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari penyajian data statistik dalam bentuk diagram garis, diagram batang, dan diagram lingkaran. Berikut ini kita akan mempelajari penyajian data statistik dalam daftar distribusi frekuensi menjadi sebuah diagram.

1)      histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram adalah diagram batang yang alasnya merupakan panjang kelas interval, sedangkan tingginya merupakan frekuensi kelas interval.

Jika tiap tengah-tengah sisi atas batang yang berurutan dihubungkan dengan garis lurus, maka diperoleh poligon frekuensi.

Sajikan data berikut ini kedalam histogram dan poligon frekuensi!

                                           Tabel 1.6

Kelas Interval	Tepi Kelas	Frekuensi
15-19	14,5-19,5	2
20-24	19,5-24,5	10
25-29	24,5-29,5	19
30-34	29,5-34,5	27
35-39	34,5-39,5	16
40-44	39,5-44,5	10
45-49	44,5-49,5	6
50-54	49,5-54,5	5
55-59	54,5-59,5	3
60-64	59,5-64,5	2
	jumlah	100

Jawab:

Histogram dan poligon frekuensi dari tabel 1.6 ditunjukkan pada gambar berikut:

30                                    27

25

                                                                             Poligon Frekuensi

15                  10

                 2                                                   5              Histogram

2

               17   22   27    32    37     42    47   52    57    62

2)      Ogive

Ogive adalah kurva mulus yang diperoleh berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif. Dikenal dua macam ogive, yaitu ogive positif dan ogive negatif. Ogive positif adalah grafik atau kurva yang disusun berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Ogive negatif adalah grafik yang disusun berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.